Alors voilà. Tout fringuant, vous êtes sur le point de terminer le baccalauréat et vous songez à faire la maîtrise en économie. Il vous reste une session avant de terminer et vous avez quelques cours hors programmes que vous pouvez prendre. Vous regardez différents programmes de maîtrise et vous savez que les cours seront substantiellement plus mathématiques qu'au baccalauréat. De ce fait, il est adéquat de se poser la question si votre bagage mathématique est suffisant pour faire la maîtrise. Évidemment, la réponse dépend d'où vous appliquerez pour faire votre programme de maîtrise. Plus vous appliquerez dans une université où le programme est exigeant, plus le degré de mathématiques requis sera élevé.
Ce court texte vise à répondre à une question plutôt simple : étant donné une session "libre" en cours à option, quels cours de mathématiques prendre pour se préparer adéquatement à la maîtrise ?
La dimension temporelle (une session) n'est pas prise au hasard, elle est réfléchie. D'abord, parce que vous savez avant le début de cette session ce que vous voulez faire. Mais surtout parce que les notes que vous aurez à cette session ne seront pas prises en compte par les comités d'admission ou les demandes de bourses. La raison est simple : vos demandes d'admissions / bourses doivent êtres terminées avant la fin de cette session (et peut-être même la session avant) pour répondre aux dates limites de soumission de candidatures. En conséquence, vous pouvez vous permettre de prendre des cours plus difficiles. Et si vous provenez de n'importe quel programme de sciences humaines, vous allez trouver un vrai (i.e. : où on démontre ce qu'on avance) cours de mathématiques passablement plus difficile que n'importe quel autre cours que vous avez suivi auparavant. Peut-être parce que c'est plus dur en soit, mais surtout parce que vous ne serez pas habitué à cette manière de réfléchir.
Évidemment, en une seule session, on ne peut pas faire de miracles. Les mathématiques ne sont pas uniquement qu'une suite d'instruments utiles qu'on apprend en classe. C'est aussi une manière de réfléchir, de résoudre des problèmes. Et plus on fait de maths, plus on développe cette façon de penser. Il va sans dire qu'il n'est pas interdit de faire quelques cours en autodidacte pendant l'été. Si vous maîtrisez suffisamment bien les techniques de preuves, vous serez en mesure de progresser seul (généralement moins vite, mais avec une meilleure compréhension). Je vais tenter de faire une courte liste des cours utiles pour l'étudiant en économie en ordre croissant de priorité. Je vais également tenter d'expliquer pourquoi ces cours sont utiles, voire nécessaires.
Pourquoi les maths ?
Au hockey, l'objectif est de compter des buts, pas de savoir patiner ! Mais celui qui ne sait pas patiner comptera difficilement des buts. L'analogie décrit parfaitement la relation entre les maths (vos patins) et l'économie (le hockey).
Ceux qui l'ignorent seront peut-être surpris : la théorie économique et la théorie économétrique sont fondamentalement des théories dont les axiomes et les résultats sont énoncés en langage mathématique. C'est ce qui permet notamment aux économistes de "quantifier l'inquantifiable". La plupart des concepts de la théorie économique dite "classique" sont généralement présentés avec des graphiques, voire même avec quelques "lois" énoncées textuellement lorsqu'on prend un cours au secondaire/CÉGEP (Note pour les cousins Français/Belges qui veulent se retrouver dans le système Québécois d'éducation). Mais derrière ces concepts intuitifs se cache une théorie formalisée en des définitions rigoureuses et des hypothèses sur le comportement des individus et des firmes. En d'autres termes, quiconque veut comprendre vraiment ce qu'il fait lorsqu'il applique la théorie économique ou lorsqu'il fait une étude empirique doit pouvoir maîtriser ces axiomes/hypothèses.
Cette compréhension est nécessaire aux trois niveaux où l'économiste intervient : politique, professionnel et académique. Le dernier est le plus évident.
Si vous visez une carrière d'économiste dans une institution académique, vous serez mené à faire de la recherche et/ou à enseigner la théorie économique. Dans le premier cas, vos recherches ne feront aucun sens si vous ne comprenez pas les modèles que vous mettez en place. Dans le second cas, c'est tout simplement une question de responsabilité envers vos futurs étudiants que de leur faire comprendre ce qui est une hypothèse/jugement de valeur de ce qui est un résultat qui découle de ces derniers.
Si vous visez une carrière professionnelle, vous serez amené à appliquer des modèles vus au baccalauréat ou à la maîtrise pour décrire des phénomènes réels. Si vous n'êts pas capables de comprendre les hypothèses inhérentes à vos estimations empiriques ou à vos modèles, il vous sera difficile d'interpréter convenablement vos résultats. Puisque des résultats peuvent devenir des pratiques d'investissement ou des politiques publiques, le simple bon sens demande encore une fois que vous compreniez la mécanique derrière vos modèles ne serait-ce que pour savoir dans quelles conditions ils s'appliquent.
Finalement, l'économiste est généralement amené à débattre de politiques publiques ou politiques économiques dans diverses instances : télévision, conférences, etc. Si vous souhaitez garder une longueur d'avance dans un débat, il importe de comprendre ce qui est implicitement supposé par une personne qui argumente en faveur ou en défaveur d'une politique économique.
Je suis constamment ébahi par la simplicité des politiques publiques que peuvent faire certains économistes/groupes d'économistes dans les débats publics. Certaines oublient des concepts statistiques élémentaires ou font l'équivalent d'approximer un éléphant par un crocodile pour arriver à leurs résultats. Dans tout processus d'enseignement, il y a une part de simplification pour faciliter l'apprentissage. Quand on présente des résultats basés sur l'équivalent de la théorie économique enseignée au CÉGEP ou de première année d'université, je me questionne à savoir si on comprend ce qui marche ou ne marche pas dans la théorie. Si les choses étaient aussi simples, ça ferait longtemps que bien des problèmes seraient réglés !
Évidemment, à ce stade, les intérêts, idéologies et parti pris font certainement parti du débat public. Alors, ne serait-ce que pour rectifier les faits ou pour vous même prendre une position engagée (et intelligente), il importe de savoir ce qui en est.
La base
Dans cette section, je décris ce que vous devriez avoir au minimum. Essentiellement, ce sont les cours de mathématiques offerts dans n'importe quel CÉGEP. Il est pratiquement acquis que si vous avez passé à travers un baccalauréat en économie avec des notes suffisantes pour envisager la maîtrise, vous avez suivi ces cours.
- Calcul différentiel : concept de suite convergente ou divergente, fonction d'une seule variable, fonction continue/discontinue d'une seule variable, limites, dérivée, fonction différentiable d'une seule variable, règles de dérivation, expansion de Taylor, quelques applications : graphe d'une fonction, optimisation, introduction à l'intégrale.
- Calcul intégral : série convergente et divergente, intégrale de Riemann, théorème fondamental du calcul, résultats fondamentaux d'intégration, techniques d'intégration, intégrales insolubles et séries et quelques applications : calculs de volumes, longueurs, surfaces.
- Algèbre Linéaire : système d'équation linéaire et "solution" classique, matrice, déterminants, inversion de matrices et règles de calcul, plan, droite, espace vectoriel, méthode de résolution des systèmes matriciel et quelques applications.
- Un cours de statistique de base : distributions classiques, estimateurs classiques, différences entre échantillon et population. (J'ai très peu de souvenirs de mes cours de statistiques au CÉGEP, d'où la courte liste.)
Ces cours sont essentiels pour résoudre les exercices : la théorie économique classique passe essentiellement par l'optimisation de fonctions et il faut donc être capable de faire ça. Pour ce qui est de l'économétrie, les instruments de base employés (les régressions) sont des systèmes matriciels et il faut donc savoir les manipuler.
Un peu plus que la base
Les cours de mathématiques pour ingénieurs dans une université (math I et math II): calcul différentiel et intégral à plusieurs variables, différentielle, dérivée, dérivée directionnelle, gradient, champs scalaires, champs vectoriels, théorème de Stokes, théorème de Greene, nombres complexes et opérations, théorème fondamental de l'algèbre, systèmes d'équations différentielles linéaires (et quelques cas non linéaires). Les concepts sont évidemment axés sur les applications : optimisation, Lagrangien, Hamiltonien, trouver les "zéros", etc.
Un bon cours d'introduction aux probabilités : vous risquez de revoir l'essentiel de ce que vous avez vu au CÉGEP, mais plus en profondeur.
Ces cours vous garantissent que vous serez capable de résoudre pratiquement la plupart des exercices appliqués les doigts dans le nez. Tous les cours précédents ont généralement la même lacune : ils sont axés sur les résultats et peu axiomatiques. En conséquence, ils donnent une mauvaise idée de ce que sont les mathématiques nécessaires à la compréhension de la théorie économique. Maximiser l'utilité d'un consommateur est une chose. Savoir dans quelles conditions cette fonction d'utilité est une représentation adéquate du consommateur en est une autre.
Le cours de calcul intégral de CÉGEP souffre aussi d'une lacune importante : il travaille avec l'intégrale de Riemann au lieu de l'intégrale de Lebesgues. Cette dernière est plus abstraite dans un espace générique X, mais suffisamment concrète dans l'espace des réels pour être enseignée au CÉGEP ou à l'université. D'ailleurs, c'est couramment enseigné dans les Lycée français. Cette définition de l'intégrale offre plusieurs avantages : elle permet de définir concrètement la notion de variable aléatoire, d'opérateur d'espérance et de convergence de fonction, ce qui est la base de l'économétrie. De plus, cette définition englobe indistinctement une série et une intégrale de Riemann. Le cours d'analyse IV présenté ci-bas vise essentiellement à combler cette lacune. Il est cependant possible de prendre un cours de mesure et intégration moins avancé que ce dernier qui offre sensiblement le même objectif : définir l'intégrale de Lebesgues.
Les cours plus avancés
La bonne nouvelle, c'est que vous ne verrez aucun nouveau résultat à proprement dit avant d'atteindre Analyse III. Cependant, la grande différence sera que vous allez tout démontrer. En d'autres termes, vous allez partir de quelques éléments considérés vrais (les axiomes) et vous allez systématiquement reconstruire tous les résultats vus précédemment. L'avantage de faire une telle chose est que la théorie économique est construite de la même manière.
- Méthode de preuves ou "algèbre classique" (selon les universités) : axiomes mathématiques, logique formelle, théorie des ensembles, techniques de preuves et résultats associés.
- Analyse I : raisonnement "epsilon/delta", nombres naturels, nombres rationnels, nombres réels, série, série convergente, concepts associés, suite, suite convergente, fonction injective/surjective/bijective, existence d'inverse, théorèmes associés.
- Algèbre Linéaire (probablement en deux cours : cours II) : vecteur, espace vectoriel, dimension, noyau, déterminant, matrice, forme quadratique, opérateur linéaire, produit scalaire, existence d'inverse, théorèmes associés.
- Analyse II : La différentielle, La dérivée, la dérivée directionnelle, les classes "petit o", l'intégrale de Riemann, les propriétés de l'intégrale, le théorème de Taylor, les dérivées, convergence uniforme.
- Analyse III : espaces métriques, éléments de topologie (voisinages, points, convergence, continuité, fermeture, etc.), inégalités (Schwartz, Minkowski, etc.), Complétude, Compacité (Heine-Borel), Connexité, Théorème des fonctions implicites.
- Statistique mathématique : approximation de stirling, théorème central limite, variables aléatoire, espérance, loi normale multivariée, distribution jointe, distribution marginale, indépendance, modes de convergence, estimation, intervalles de confiance, puissance des tests, liens avec l'analyse.
- Analyse IV : Mesure et intégration (Ths : Conv. Dominée, Fondamental du Calcul), Espaces Lp (Fubini), Produit d'espaces mesurables, Espaces de Hilbert et applications, Convergence de fonctions, Séries de Fourier et transformées de Fourier.
Avec les cours avant Analyse III, vous êtes en affaire pour à peu près n'importe quel programme de maîtrise, à l'exception de l'économétrie (ce que visent essentiellement les deux derniers cours).
À quoi servent ces cours ? D'abord, à comprendre dans quelles conditions il existe un "équilibre". Les économistes adorent les équilibres (équilibre de prix, de comportements, de choix, etc.). Ils aiment encore plus quand ils existent. En microéconomie, c'est présent en théorie classique (équilibre général des prix) et en théorie des jeux (équilibres de Nash). En macroéconomie, c'est présent également en cycles économiques (équilibres stochastiques autour de la croissance nominale), en croissance économique (équilibres de croissance) et en analyse numérique de politiques économiques (fonctions de consommation, etc.). En économétrie, c'est au coeur du théorème central limite, duquel découle la plupart des résultats économétriques (convergence presque certaine, en probabilité et en distribution).
Alors, à vous de faire votre horaire en partant du début en remontant dans la liste selon les cours offerts et le temps que vous avez.
Une fois les cours de CÉGEP acquis, privilégiez la compréhension de quelques concepts plutôt que couvrir plusieurs concepts en superficialité. Lire des théorèmes et les comprendre prends du temps. Il est tout à fait possible de passer des heures sur quelques lignes de "texte" : comprendre les principales idées derrière la démonstration, l'intuition, répondre à vos propres "pourquoi ?", comprendre où interviennent les hypothèses, etc.
Il faut comprendre que les cours présentés sont ni obligatoires, ni absolument nécessaires. Certains s'en tirent très bien à la maîtrise en suivant strictement les préalables. Mais je doute qu'ils saisissent l'ensemble des hypothèses/jugements/conditions qui sont imbriquées dans le langage mathématique. De plus, avec plus de maths, votre perception du degré de difficulté changera sensiblement.
Juste au cas, voici...
Quelques "extras"
C'est plus à envisager avant le doctorat, en fait. Mais si vous avez le temps...
- Introduction à la topologie.
- N'importe quel cours de programmation. Idéalement, un cours qui insiste sur les pratiques algorithmiques et moins sur le langage de programmation.
- Analyse numérique.